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Pierre a grandi en Alsace, en Lorraine et en Allemagne avant de sâ€™Ã©tablir en Australie. PassionnÃ© de la France et de sa culture, il a fondÃ© French Moments, une organisation initialement basÃ©e Ã Sydney qui promeut notre beau pays au public anglophone. En 2014, il est revenu sâ€™installer en Europe avec son Ã©pouse Rachel et sa petite fille AimÃ©e. Professeur dâ€™Ã©conomie et de management en BTS, Pierre est Ã©galement formateur de franÃ§ais en langue Ã©trangÃ¨re et guide touristique. AprÃ¨s avoir rÃ©sidÃ© quelques annÃ©es en Ile de France et en Savoie, il promeut aujourd'hui la France depuis l'East Sussex en Angleterre.

Sommaire Probabilités Variables aléatoires et lois de probabilité Espérance et variance/écart-type Probabilité conditionnelle Formule des probabilités totales Indépendance Ou/et Epreuve de Bernoulli et loi binômiale Le complémentaire Les arbres Exercices Annales de bac Intérêt des probabilités Introduction Nous allons supposer que tu as déjà lu le chapitre sur les bases des probabilités, nous t’invitons donc à lire cette introdution si tu ne l’as pas encore fait Probabilités Bon après le gros chapitre d’introduction, il serait peut-être temps de parler de probabilité non ? Une probabilté, on peut dire que c’est la chance » que l’on a d’obtenir un événement. Par exemple, si on appelle A l’événement obtenir pile », pA = ½ car on a une chance sur 2 d’avoir pile si la pièce n’est pas truquée bien sûr . Pour une pièce c’est facile, mais parfois c’est beaucoup plus compliqué. Alors comment faire pour calculer une probabilté ? Tout dépend du contexte, parfois on est dans des cas particuliers comme une loi binômiale que l’on verra plus tard, mais on a aussi des situations simples si on prend un dé, tous les événements 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ont la même probabilité d’être tirés. On a alors une formule très sympathique dans ce cas là pour un événement A — Si tous les éléments ont la même probabilité d’être tirés, — Ce qui signifie Si par exemple A = avoir un nombre supérieur ou égal à 3 » , on a alors A = {3 ; 4 ; 5 ; 6}, donc cardA = 4. De plus, = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}, donc card = 6. Donc Il y a évidemment d’autres cas dont nous parlerons plus loin, mais la propriété ci-dessus est très souvent utilisée Une chose très importante à retenir une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1 !! Si PA = 0, A est un événement IMPOSSIBLE, comme le fait d’obtenir 7 en lançant un dé. Si PA = 1, A est un événement CERTAIN, c’est-à-dire qu’il est obligé d’arriver, comme le fait d’obtenir un nombre positif en lançant un dé par exemple. Du coup, si un jour tu calcules une probabilité et que tu trouves un nombre plus grand que 1, comme 5 ou 12 par exemple,C’EST FORCEMENT FAUX !! Il faut alors revoir le raisonnement pour trouver la faute^^ Variables aléatoires et lois de probabilités Haut de page Une variable aléatoire est une application, qui à une éventualité fait correspondre un nombre généralement, mais tu comprendras mieux au fur et à mesure avec des exemples. Prenons un exemple justement. Supposons que l’on a un dé. On définit la variable aléatoire X ainsi si l’on obtient 1 ou 2, on gagne 2 euros, donc X vaut +2 si l’on obtient 3 ou 4, on ne gagne rien, donc X vaut 0 si l’on obtient 5 ou 6, on perd 3 euros, donc X vaut -3 X correspond ici au gain algébrique. Algébrique » signfie que le gain est négatif quand on perd, et positif quand on gagne. On peut résumer la situation par un tableau valeur du dé 1 ; 2 3 ; 4 5 ; 6 X +2 0 -3 On définit alors une LOI DE PROBABILTE, qui correspond à la probabilité d’obtenir chacune des valeurs de X, donc +2, 0 et -3. Quand on te demande de déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire X il faut donc 1 déterminer toutes les valeurs que peut prendre X, que l’on note x1, x2, x3… 2 Pour chaque valeur, déterminer la probabilité Px1, Px2…que l’on note aussi PX=x1, PX=x2… Ici on est dans le cas ci-dessus où tous les événements 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ont la même probabilité d’être tirés. On a donc De même On peut donc compléter notre tableau valeur du dé { 1 ; 2 } { 3 ; 4 } { 5 ; 6 } X = xi +2 0 -3 p X = xi ⅓ ⅓ ⅓ Et voilà, on a déterminé notre loi de probabilité ! C’est tout simplement la dernière ligne, où on a toutes les probabilités pour chaque valeur de X. Ici c’est un cas partiulier, ce sont toutes les mêmes probabilités ⅓. Une petite remarque au passage pour dire toutes les possibilités de X, on le note comme pour un ensemble, avec des accolades, mais on note X Ici, X = {-3 ; 0 ; +2}. Si possible, remets les valeurs dans l’ordre croissant comme ici, c’est toujours mieux d’écrire {-3 ; 0 ; 2} que {2 ; -3 ; 0} Ce qui est important c’est que tu retiennes la méthode pour déterminer une loi de probabilité déterminer toutes les valeurs possibles que peut prendre la variable aléatoire, puis la probabilité de chacune de ces valeurs. Une propriété très importante la somme des probabilités pour une variable aléatoire vaut 1 !!!! dans notre exemple c’est bien le cas, puisque ⅓ + ⅓ + ⅓ = 1. Cette propriété a deux utilités tout d’abord pour vérifier si ce que l’on a trouvé est juste. On additionne toutes les probabilités et on voit si ça vaut 1. Attention cependant, ce n’est pas parce que ça vaut 1 que c’est juste, mais si ça ne vaut pas 1, c’est FORCEMENT FAUX !! A ce moment-là il faut chercher où tu as fait une erreur. Deuxième utilisation calculer une probabilité ! Imaginons que X puisse valoir 5, 6 ou 7, et que l’on sait que PX=5 = ½ et PX=7 = ⅓, et que l’on cherche PX = 6. On dit tout simplement PX=5 + PX=6 + PX=7 = 1 Donc PX=6 = 1 – PX=5 – PX=7 = 1/6. Et voilà, on a trouvé PX=6 sans avoir à trouver une autre méthode. L’inconvénient c’est que si on s’est trompé à PX=5 ou PX=7, PX=6 est faux. N’utilise donc cette méthode que si tu es certain des résultats que tu as trouvés avant Il est fondamental que tu t’entraînes avec ces exercices sur les variables aléatoires pour être au point sur la méthode et les calculs à effectuer Espérance et variance/écart-type Haut de page L’espérance, c’est en gros ce qu’on peut ESPERER obtenir EN MOYENNE comme résultat à la fin de l’expérience. Si on reprend l’exemple au dessus avec le dé, l’espérance de X correspond au gain moyen que l’on a en lançant le dé. Il y a bien sûr une formule pour l’espérance de X, que l’on note E[X] Si on a X = {x1 ; x2 ; … xn}, alors Reprenons notre exemple de tout à l’heure X = {-3 ; 0 ; +2}. Alors L’espérance est de -1/3, donc négative, ce qui est logique vu que l’on perd plus d’argent qu’on ne gagne et qu’il y autant de possibilités de perdre, gagner, ou n’avoir rien du tout. Vérifie toujours la cohérence du résultat avec la situation, ça peut t’aider à vérifier si tu t’es trompé ou pas L’espérance de -1/3 signifie que EN MOYENNE, si on joue un très grand nombre de fois, c’est comme si on avait perdu -1/3 d’euros à chaque partie. En plus de l’espérance, on peut calculer la variance de X, notée VX. La formule est la suivante — — Comme tu le vois c’est un peu horrible, mais en fait c’est la même formule qu’au-dessus sauf qu’on remplace xi par xi-E[X]2 Il y a alors une autre formule pour calculer plus facilement la variance On va utiliser cette formule pour calculer la variance de l’exemple ci-dessus Avec la 2ème formule c’est plus rapide, et ce n’est pas si long que ça Remarquons au passage que la variance est toujours positive car c’est une somme de valeurs positives d’après la 1ère formule. La variance en elle-même n’a pas beaucoup d’importance, c’est l’écar-type qui est intéressant. Il est noté prononcer sigma et a tout simplement pour formule L’écart-type représente la dispersion autour de la moyenne. Avec un petit exemple ce sera plus simple On va prendre le dernier contrôle de ta classe. Supposons que la moyenne soit de 12, et que l’écart-type soit de 2. Cela signifie que la majorité des notes sont entre 12-2 et 12+2, donc la plupart des élèves ont entre 10 et 14. La variance n’est pas quelque chose de fondamental en Terminale, tu verras plus souvent l’espérance, donc ne te focalise pas trop sur la variance tu dois être soulagé de ne pas avoir à retenir ces horribles formules A noter que dans le cas où l’on a des lois particulières comme la loi binômiale, il y a une formule toute faite très simple pour l’espérance et la variance, donc pas besoin de longs calculs Quelques exercices sur l’espérance ne feront pas de mal^^ Probabilité conditionnelle Haut de page Une probabilité conditionnelle est une probabilité, à la différence que l’on sait déjà quelque chose. Par exemple, en lançant un dé, on peut chercher la probabilité d’avoir un 4 SACHANT que l’on a obtenu un nombre pair. Tu l’auras compris, il y a un mot fondamental à retenir ici SACHANT. Tout simplement parce que souvent dans les questions il y a ce mot ou un mot qui y ressemble, ce qui t’indique qu’il faut calculer une probabilité conditionnelle Au niveau de la notation, on écrit — et on lit p de A sachant B ». — Cela signifie que l’on cherche la probabilité de l’événement A sachant que l’événement B s’est produit. Dans notre exemple, on cherche la probabilité d’obtenir 4 sachant que l’on a un nombre pair, donc A = obtenir un 4 » , et B = avoir un nombre pair ». Il y a bien sûr une formule pour calculer cette probabilité conditionnelle Reprenons notre exemple A = obtenir un 4 » , et B = avoir un nombre pair ». Pour le dénominateur c’est facile, il y a 3 nombres pairs et 6 nombres au total, donc Au numérateur c’est différent A = obtenir un 4 = { 4 }, et B = obtenir un nombre pair = {2 ; 4 ; 6}, donc A ∩ B = { 4 }. Ainsi On n’a plus qu’à remplacer Et voilà, c’es tout simple Le plus dur est de reconnaître qu’il faut calculer une probabilité conditionnelle et non une probabilité simple, mais là c’est ta lecture de l’énoncé qui sera déterminante car, comme dit plus haut, il y a souvent marqué sachant » dans les questions ! — ATTENTION ! Ne confonds pas le A et B, la probabilité que tu cherches est dans la parenthèse, et l’événement que tu connais est en indice juste après le P N’inverse pas le A et le B ça peut être d’autres lettres bien sûr, c’est une erreur classique^^^ — Formule des probabilités totales Haut de page Cette formule dit la chose suivante Si B1, B2…Bn est une partition de , alors Mais qu’est-ce-qu’une partition de ? Une partition, c’est quand on sépare l’espace en plusieurs parties DISJOINTES, c’est-à-dire qu’elles n’ont pas d’élément commun, et quand on fait l’union de toutes les parties, on doit retrouver . Graphiquement ça donne cela Les différentes parties ne se chevauchent pas, et quand on les prend toutes on a . Ici on a découpé en 5 mais on peut découper en autant de parts qu’on veut. Par exemple, pour le dé, = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} On peut prendre B1 = {1 ; 2 ; 3}, B2 = {4 ; 6}, et B3 = {5} On a bien B1 ∪ B2 ∪ B3 = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} = , et tous les Bi n’ont aucun point commun entre eux. B1, B2, B3 est donc bien une partition de . En revanche, B1 = {1 ; 2 ; 3 ; 4}, B2 = {4 ; 6}, et B3 = {5}, n’est pas une partition de car B1 ∩ B2 = {4} ≠ ∅. Graphiquement, cela correspond à prendre toutes les branches se terminant par A si l’on cherche PA Ici, on cherche PA on voit que l’on peut passer par B1, B2, B3 etc… ou Bn Donc PA = PA ∩ B1 + PA ∩ B2 + PA ∩ B3 + … + PA ∩ Bn On utilisera cela dans les exercices tout à l’heure Indépendance Haut de page Deux événements sont dits indépendants s’ils n’ont pas d’influence l’un sur l’autre. Par exemple, si on lance un dé et qu’on le relance après, le résultat du deuxième lancer ne dépend pas du premier lancer les 2 lancers sont donc indépendants. Il y a alors une formule très importante à retenir Si A et B sont indépendants En revanche, si les 2 événements ne sont pas indépendants, on utilise le fait que — c’est-à-dire Donc, dans le cas général Cette formule est à connaître PAR COEUR !! — — ATTENTION ! On rappelle que les 2 premières formules ne sont pas mathématiquement correctes car on a ajouté des ensembles, alors qu’on ne doit faire que des unions et des intersections. Cependant, ces formules permettent d’expliquer la 3ème formule qui elle est correcte, puisqu’on ajoute et soustrait des PROBABILITES, c’est-à-dire des nombres. — Ou / Et Haut de page Souvent dans les énoncés tu verras les mots et » et ou ». Il faut alors traduire ces mots sous forme mathématiques. En fait c’est très simple le et » correspond à l’intersection, le ou » correspond à l’union ! Exemple on tire une carte dans un jeu de cartes. On cherche la probabilité d’obtenir un trèfle OU un roi. Et bien si on appelle A = obtenir un trèfle » et B = obtenir un roi », cela revient à cherche PA ∪ B !! On utilisel l’union car on avait ou » dans l’énoncé. De plus, OU est souvent associé à une addition, donc + ». On s’en servira tout à l’heure. En revanche, si on cherche la probabilité d’obtenir un trèfle ET un roi, cela revient à calculer PA ∩ B. On utilisel l’intersection car on avait et » dans l’énoncé. Enfin, ET est souvent associé à une multiplication, donc × ». On s’en servira également tout à l’heure. On verra cela plus tard dans les exercices^^ Epreuve de Bernoulli et loi binômiale Haut de page On arrive là à une partie intéressante car on la retrouve souvent dans les exercices. Tout d’abord sache qu’il y a une EPREUVE de Bernoulli et un SCHEMA de Bernoulli, fait attention à bien faire la différence. Commençons par le commencement une EPREUVE de Bernoulli, c’est une épreuve où il y a 2 issues succès, ou échec. A pile ou face, on peut dire que pile est un succès, et face un échec. Lancer une pièce est donc une épreuve de Bernoulli. Avec un dé, on peut dire que obtenir un 5 est un succès, et obtenir un autre chiffre un échec. Dans ce cas-là, un lancer de dé correspond à une épreuve de Bernoulli. Il y a alors 2 paramètres p, qui est la probabilité de succès, et q, qui est la probabilité d’échec. Comme il n’y a que 2 possibilités et que la somme des probabilités vaut 1, on a donc — p + q = 1 c’est-à-dire q = 1 – p — Ainsi, il suffit de donner la valeur de p, et on a automatiquement la valeur de q. Si p = q = 1 – = On peut alors avoir des variables aléatoires que l’on dit distribuées selon des épreuves de Bernoulli. Exemple on lance un dé, la variable aléatoire X vaut 1 si on obtient un 5 succès, et 0 si on obtient un autre chiffre échec. On a bien 2 possibilités pour X 0 ou 1 c’est une épreuve de Bernoulli. Et on a p = PX = 1 = P{5} = 1/6, et q = PX = 0 = P{1;2;3;4;6} = 5/6 On a bien p + q = 1 Mais on peut répéter plusieurs fois de suite cette expérience, n fois de suite c’est ce qu’on appelle un schéma de Bernoulli. Un schéma de Bernoulli, c’est donc quand on fait n fois de suite DE FACON INDEPENDANTE une épreuve de Bernoulli, tout simplement. Une variable aléatoire peut bien sûr suivre un schéma de Bernoulli, et on compte le nombrede succès c’est ce qu’on apelle une loi binômiale. Reprenons l’exemple de tout à l’heure avec le dé 5 = succès, autre chiffre = échec. On lance n fois de suite le dé DE FACON INDEPENDANTE. Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre de fois que l’on a eu 5 autrement dit le nombre de succès. Et bien X suit une loi binômiale ou un schéma de Bernoulli, c’est pareil, de paramètres n et p. — ATTENTION ! Pour une EPREUVE de Bernoulli il n’y a qu’un paramètre la probabilité de succès p. Mais un SCHEMA de Bernoulli ou loi binômiale, il y a 2 paramètres p, et n, le nombre de fois que l’on répète l’expérience. — Si X suit une loi binômiale de paramètres n et p, on note X compte le nombre de succès, or on fait n expériences. X peut donc valoir 0, 1, 2, 3…n, puisque l’on peut gagner 0 fois, 1 fois, 2 fois… ou n fois. Pour déterminer la loi de probabilité de X, il faut donc calculer PX=0, PX=1, PX=2…PX=n d’après ce qu’on a dit plus haut sur les lois de probabilité. Oui mais si n vaut 1 million… Heureusement il y a une formule toute prête Pour tout k compris entre 0 et n Oulala, qu’est-ce-que c’est que ce truc ? Petite explication on cherche PX=k, c’est-à-dire la probabilité d’obtenir k succès. Il faut d’abord choisir quelles expériences parmi les n vont être des succès, et comme on veut k succès, c’est Ensuite il faut que l’on ait k succès, et la probabilité de succès est p, donc Et enfin, comme il y a k succès et n épreuves, il y a… n-k échecs ! Et comme la probabilité d’échec est q, cela donne On multiplie tout ça, et ça donne Bon un petit exemple ne sera pas de trop je pense Toujours le même exemple, on lance le dé 3 fois de suite donc n = 3, succès = 5, échec = autre chiffre. On a vu que p = 1/6, q = 5/6. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de succès à l’issue des trois lancers. On cherche la loi de probabilité de X. Il est évident que X suit une loi binômiale car on répète 3 fois DE FACON INDEPENDANTE une épreuve de Bernoulli. X peut valoir 0, 1, 2, ou 3. Il faut donc calculer PX=0, PX=1, PX=2 et PX=3. Pour cela, on applique la formule Et on recommence pour 1, 2, et 3 ! ———— ———— Et bien sûr, quand on additionne tout, on doit trouver 1 La somme des probabilités vaut bien 1, c’est donc cohérent mais ce n’est pas obligatoirement bon^^. Concernant l’espérance et la variance, ça va être très facile Encore le même exemple du dé on avait p = 1/6, et n = 3, donc E[X] = 3 × 1/6 = ½, tout simplement ! — ATTENTION !!! Tu as remarqué que l’on a accentué sur le fait que les événements devaient être INDEPENDANTS pour que l’on puisse avoir une loi binômiale. Généralement il n’y a pas de piège à ce niveau là, mais il faut absolument que tu justifies ! En effet, parfois tu dois prouver que c’est une loi binômiale. Il faut alors que tu dises comme on répète n fois une épreuve de Bernoulli et que les événements sont INDEPENDATNS, X suit une loi binômiale ». N’oublie pas ce petit détail, car ainsi le correcteur verra que tu as bien compris le cours — Avant d’entamer des exercices sur les lois binômiales, il convient de parler du complémentaire, car des questions à ce sujet reviennent souvent quand il y a des lois binômiales^^. Complémentaire Haut de page Nous avons parlé dans le chapitre introduction » du complémentaire nous allons voir ici comment l’utiliser. — Tout d’abord ATTENTION ! Le contraire ou complémentaire de ≥ est !!! Ce qu’il faut retenir, c’est que quand il y a le égal » dans un signe, obligatoirement il n’est pas dans l’autre !! — Exemple pour un dé, on peut prendre A = les chiffres supérieur ou égal à 3 » . Donc A = {3 ; 4 ; 5 ; 6} Le complémentaire de A est les chiffres STRICTEMENT inférieurs à 3 », donc {1 ; 2}. Ce qui est logique puisque A = {3 ; 4 ; 5 ; 6}. Il y a alors une formule très importante à retenir Ainsi — PX ≥ k = 1 – PX k = 1 – PX ≤ k PX ≤ k = 1 – PX > k PX < k = 1 – PX ≥ k — L’utilisation la plus fréquente du complémentaire est la suivante On lance 30 fois une pièce pile = succès, face = échec. Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de pile donc le nombre de succès X suit donc une loi binômiale. On cherche la probabilité de gagner AU MOINS 1 partie. C’est-à-dire PX ≥ 1. On applique alors ce que l’on a appris juste avant PX ≥ 1 = 1 – PX < 1 Or X vaut 0, 1, 2…30, donc si X < 1, X = 0 !!!! Ainsi PX ≥ 1 = 1 – PX < 1 = 1 – PX = 0 Et pour calculer PX = 0, ici c’est une loi binômiale donc on applique la formule que l’on a apprise tout à l’heure, mais bien sûr cela marche avec toutes les lois et pas seulemennt avec la binômiale Ce qu’il faut retenir quand il y a AU MOINS dans la question, on passe forcément par le complémentaire ! De plus, au moins K veut dire ≥ K, donc le complémentaire est < K. Tu vois maintenant l’intérêt du complémentaire pour les lois binômiales, et il y a justement des questions à ce propos dans ces exercices sur la loi binômiale. Les arbres Haut de page Dans presque tous les exercices de probabilité, il est essentiel de faire un arbre ! Tout simplement parce qu’ils permettent de résoudre certaines questions immédiatement !! En faire un au début de l’exercice et le compléter au fur et à mesure n’est donc pas une perte de temps, au contraire Mais comment faire un arbre ? Il faut toujours partir d’un point central, qui se divise après en branches. Chaque branche se redivisant après en d’autres branches, etc… A chaque fois, il y a autant de branches que de possibilités différentes. Avec un exemple ce sera plus simple^^ On a 4 boules blanches et 5 boules vertes dans une urne, et on tire 3 fois AVEC REMISE une boule on remet dans l’urne la boule qu’on a tirée On note B l’événement tirer une boule Blanche » et V l’événement tirer une boule Verte ». Au 1er tirage, on a 2 choix V et B soit on tire une boule blanche, soit on tire une boule verte Au 2ème tirage, on a aussi 2 choix A CHAQUE FOIS il y a donc 2 branches qui partent de V, et 2 qui partent de B. Et enfin pour le 3ème tirage, on a de nouveau 2 choix à chaque fois Et voilà on a notre arbre tout joli . Il ne reste plus qu’à décorer les branches comme un sapin de Noël compléter les branches avec les probabilités de chaque événement. Ici c’est simple il y a 9 boules en tout, 4 blanches et 5 vertes, et ce pour chaque tirage puisque c’est AVEC remise. La probabilité de tirer une boule blanche est donc de 4/9 et une verte de 5/9 Il faut alors mettre cette probabilté sur chaque branche correspondante Bon c’est sûr c’est un peu surchargé^^ Mais pour certaines questions c’est beaucoup plus simple ! — Remarque importante !! A chaque fois qu’une branche se redivise en d’autre branches, la somme des probabilités des branches doit valoir 1 !! Exemple Il y a 2 choses à remarquer ici Tout d’abord on vérifie que la somme des probabilités en rouge vaut bien 1 1/8 + 2/8 + 5/8 = 1 il n’y a pas de souci. Si on n’avait pas trouvé 1, c’est qu’il y aurait eu une erreur. Cela permet donc de vérifier qu’on ne s’est pas trompé mais ce n’est par parce qu’on trouve 1 que c’est forcément vrai…. Ensuite, si on veut calculer la probabilité marquée d’un point d’interrogation, on utilise le fait que la somme des probabilités en vert vaut 1 !! Appelons x cette probabilité, on a 1/9 + x + 3/9 = 1 x = 1 – 1/9 – 3/9 = 5/9 Et voilà, on a trouvé la probabilité inconnue grâce au fait que la somme des probabilités vaut 1. Avec l’arbre c’est tout de suite visible, d’où l’intérêt d’en faire Prends donc l’habitude de vérifier que la somme des probabiltiés sur une branche qui se divise vaut 1, et pense à utiliser cette propriété pour calculer certaines probabilités que tu ne connais pas. — Mais il y a également d’autres manières de calculer simplement certaines probabilités avec les arbres ! Imaginons que l’on cherche la probabilité que la deuxième boule soit blanche. On prend alors tous les chemins qui ont B en 2ème position, coloriés en rouge sur le schéma Il faut alors ADDITIONNER les différents chemins car c’est OU, on ne peut pas prendre 2 chemins en même temps, et tu te souviens que le OU correspond au + ». Pour chaque chemin, on MULTIPLIE les différentes branches rencontrées car c’est ET, on prend la 1ère branche, ET la 2ème, ET la 3ème, et tu te souviens que le ET correspond au × ». Le chemin B-B-B a donc pour probabilité Le chemin B-B-V a pour probabilité Et de même pour les 2 autres chemins. Il ne reste plus qu’à additionner ces chemins. Si on appelle A l’événement obtenir une boule blanche en 2ème position, on a alors Il y a bien sûr plein d’autres arbres différents, on en avait fait un autre dans le chapitre précédent, tu peux toujours retourner le voir. Mais le mieux est encore de regarder ces exercices sur la construction d’arbres ! En plus ce sont des exercices tirés d’annales du bac !! Exercices Haut de page Tu trouveras sur cette page tous les exercices sur les probabilités ! Annales de bac Haut de page Pour être au top avec les probabilités, fais ces annales de bac afin de voir si tu as bien tout compris ! Intérêt des probabilités Les probabilités sont une des grandes parties des mathématiques, avec l’algèbre et l’analyse. Elles sont très utilisées dans le domaine du jeu, comme les casinos ou les paris sportifs. Elles ont bien sûr d’autres applications dans le domaine industriel notamment pour évaluer les risques de panne, ou le domaine climatique pour mesurer les risques de catastrophes naturelles. La loi exponentielle voir le chapitre sur les probabilités à densité sert en particulier à modéliser des phénomènes de file d’attente, pour les transports en commun par exemple. On s’en sert également pour les feux rouges, afin de savoir comment les régler pour que le trafic soit le plus fluide possible en fonction du nombre de voitures, etc… Les probabilités sont reliées aux statistiques, très utilisées dans le domaine politique avec les sondages par exemple. Le principal intérêt des probabilités est de pouvoir donner des mesures sur des grandeurs incertaines. En effet, une probabilité reste une probabilité, ce n’est pas une valeur exacte qui reflète forcément ce qui va se passer si on lance une pièce, on ne va tomber une fois sur deux sur pile ou face. Néanmoins les probabilités permettent de donner des valeurs assez précises des phénomènes observés. En statistiques, on fait parfois des estimations, qui permettent de donner des valeurs sur des grandeurs dont il est difficile de donner des valeurs précises. Retour au sommaire des coursRemonter en haut de la page

Lachanson : opening de Fairy Tail Mon Instragram:

David Servan-Schreiber nous avait, le premier, alerté sur les bienfaits de la cohérence cardiaque. 5 petites minutes de respiration rythmée pour réguler le système nerveux autonome notre pilote automatique, réduire l’intensité des effets du stress sur notre organisme, augmenter notre système de défense immunitaire, prendre de meilleures décisions et développer notre intuition. Rien que ça. Voici un guide de respiration à suivre, assis bien droit. Les jambes décroisées, pour que les organes de l’abdomen soient libres et engagés. Inspirez quand la rosace gonfle, expirez lorsqu’elle dégonfle. 3 fois par jour, le matin, à midi et au goûter. Cela dure 5 minutes, c’est tout. Pas besoin de plus pour en ressentir les bienfaits. Enjoy ! Voir d’autres exercices Apprendre à pratiquer la cohérence cardiaque Formation de base en cohérence cardiaque Étiquettes Cohérence cardiaque, David Servan-Schreiber, exercice de respiration Partager cet outil sur votre site Copier puis coller le code ci-dessous dans le code HTML de votre site Découvrir nos autres outils Commenter

Cahier1, Journaux, Chicoutimi :[éditeur non identifié],1964-2017. Aller directement au contenu. Aller directement au menu principal. Bibliothèque et Archives nationales du Québec Accueil ; Sous-menu. Patrimoine québécois. Nos sélections

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Le 1er but barcelonais est un chef d'oeuvre collectif mais est aussi marqué juste après le 1er but, dans un moment qui laisse à penser que le PSG n'avait pas tous ses esprits. thèse de la déconcentration a été avancée au moment du 1er but barcelonais. Quelques instants auparavant, David Luiz a ouvert le score et le but a été célébré par toute l'équipe, excepté Sirigu, en se réunissant dans un coin du terrain pendant que les 10 Barcelonais se replacent Sauf qu'au coup d'envoi, tout le monde est en place et on voit bien les 3 lignes parisiennes. La seule exception est l'inversion de Cavani et Pastore L'engagement est donné avec le ballon en retrait et on voit que les lignes parisiennes sont bien visibles et en place, comme celles de Barcelone Après deux passes, Iniesta est servi au milieu du terrain et on remarque déjà une certaine désorganisation Pastore, Verrratti et Motta vont vers le joueur pour l'encercler, Lucas n'y va pas alors qu'il est le plus près au départ tandis que Neymar décroche et est en partie suivi par Van der Wiel. A ce moment-là, on remarque également que Cavani est très haut sur le terrain. Bien pris sur l'image précédente, Iniesta a joué en retrait et le jeu est reparti côté droit dans les pieds de Rakitic. On constate déjà plusieurs choses Cavani est en retard vu qu'il était trop haut avant et Alves s'est enfui dans son couloir, Matuidi est obligé de venir en vitesse pour ne pas laisser Maxwell gérer un 2 contre 1. Au milieu, Motta est plus monté que les autres sur la passe en retrait d'Iniesta et est devenu la pointe haute du milieu, laissant la défense gérer un 4 contre 3, voire un 3 contre 3 vu que Maxwell voit l'action se développer sur son aile et commence à se déporter pour fermer le couloir. L'action s'est développée sur le côté droit et Cavani s'est rendu compte de son erreur de placement, il est revenu à grandes enjambées vers Rakitic. Ce dernier, le sentant arriver, envoie Daniel Alves au casse-pipe avec une passe qui le met en situation de 1 contre 3. Isolé, il centre et Maxwell dévie. Le centre est malheureusement récupéré par Rakitic qui ressert Alves et s'engage vers lui pour lui proposer une solution. Alves temporise et tente de trouver une solution avec Rakitic. Ils font quelques touches de balle dans ce coin du terrain puis constatent qu'ils ne passeront pas et Rakitic remet alors en retrait pour Mascherano 3 secondes environ après la capture. Côté PSG, le côté a été bien verrouillé grâce au retour de Cavani et les deux adversaires ont été isolés alors qu'ils avaient un temps d'avance au départ. Le ballon est repassé par Mascherano qui a immédiatement servi Iniesta de l'autre côté. A ce moment, l'axe et le côté droit du PSG sont plus ou moins placés comme précédemment, seul le côté gauche n'est pas aligné mais c'est en cours après la tentative barcelonaise précédente. On voit que Verratti commence à se déplacer vers Iniesta pour aller le presser. Iniesta a pris le ballon et s'est retourné vu qu'il est libre au départ, la montée de Verratti étant trop lente vers lui. Il arrive à servir Neymar qui a décroché lui aussi. A ce moment là, c'est déjà un peu la panique dans la défense parisienne. Van der Wiel court pour combler le décrochage de Neymar, Lucas regarde les choses se passer en se disant qu'il doit surveiller son couloir, Verratti sait qu'il est en retard et court avec Motta vers le ballon pour combler l'espace et enfermer Neymar Iniesta a vu Neymar et s'est appuyé sur lui tout en continuant sa course vers l'avant. On voit que Van der Wiel est toujours en retard sur Neymar et qu'il n'a pas pu combler l'avance du Brésilien au départ. Verratti a presque réussi à rattraper Iniesta, Motta est venu enfermer Neymar tandis que Matuidi s'est rapproché de Messi. Pendant ce temps-là, Lucas est toujours spectateur et ne voit pas que le couloir ne va pas être occupé par Alba mais par Iniesta. Neymar a réussi à trouver Messi dans un trou de souris, plein axe, pas assez gêné par Matuidi qui souffre de son retard lié au décalage à droite quelques secondes plus tôt. Van der Wiel a été aspiré par Neymar. Motta, venu contrer, n'a pas réussi dans cette mission, il est donc lui aussi éliminé par cette passe. Il reste alors Verratti qui tente de suivre Iniesta et Marquinhos qui ne peut pas se permettre de sortir trop sur le côté sous peine d'ouvrir complètement l'axe à Messi sur son meilleur pied Messi sert Iniesta qui est tout seul dans la surface et attire Marquinhos vers lui. Au milieu, l'amas de trois joueurs constitué de Motta, Van der Wiel et Matuidi est en retard et effacé. Neymar a scotché les deux premiers tandis que l'interception loupée d'un rien par Blaise a offert un peu d'avance à Messi qui se positionne dans une position rêvée. Messi a même pu s'avancer et reçoit un ballon en or qu'il ne va pas louper. A ce moment là, David Luiz tente l'impossible mais il a trop de retard au départ. Verratti a été spectateur sur toute la fin d'action, dépassé par la vitesse de l'enchaînement. Matuidi court derrière Messi mais il est lui aussi trop en retard, de même que Van der Wiel. Motta a compris et marche depuis son interception ratée sur Neymar. Neymar, justement, s'est déjà mis en route pour un éventuel second ballon, dernière preuve des nombreux temps de retard parisiens sur les Barcelonais. Au final, c'est dur d'affirmer que ce but est dû à de la déconcentration, la première partie de l'action étant très bien gérée malgré un léger retard au départ de Cavani. Sur la seconde partie, les quatre déplacements barcelonais Iniesta, Neymar, Iniesta de nouveau et Messi sont absolument parfaits, tant dans l'idée que dans la synchronisation. Ils profitent tour à tour de toutes les lacunes parisiennes le pressing au milieu déclenché trop tard et de façon trop isolée par Verratti, Lucas qui ne comprend pas que le latéral à surveiller va devenir Iniesta, l'espace laissé à Neymar et Messi entre le milieu et la défense par Motta et Matuidi et Van der Wiel qui ouvre la porte dans son dos.

Lami a dit: "Les spiritueux sont tous autour de nous. Ceux du monde psychique se tiennent à côté de nous en ce moment." Les médiums psychiques sont des personnes qui utilisent des lectures psychiques pour canaliser celles du monde spirituel. Peut-on communiquer avec le monde spirituel par l'intermédiaire d'un médium : Aucun (65400)?

Vous êtes ici Accueil Recherche Recherche... Question écrite N°30399 de Mme Typhanie Degois 15ème législature Ministère interrogé > Action et comptes publics M. le SE auprès du ministre Ministère attributaire > Action et comptes publics M. le SE auprès du ministre Question publiée au JO le 16/06/2020 page 4117 Réponse publiée au JO le 07/07/2020 page 4727 Texte de la question Mme Typhanie Degois alerte M. le secrétaire d'État, auprès du ministre de l'action et des comptes publics sur la mise en œuvre de la rupture conventionnelle dans la fonction publique d'État. Ce dispositif, prévu par la loi de transformation de la fonction publique du 6 août 2019, est expérimenté depuis le 1er janvier 2020. Il permet à un agent public, en cas d'accord mutuel avec son administration, de cesser définitivement ses fonctions et de percevoir une indemnité de rupture. Toutefois, malgré la publication des modalités de mise en œuvre de ce dispositif par deux décrets du 31 décembre 2019 relatifs à la procédure et à l'indemnité spécifique de rupture conventionnelle et de la mise à disposition de modèles de convention par arrêté du 6 février 2020, il apparaît aujourd'hui que certains fonctionnaires d'État souhaitant bénéficier de ce dispositif rencontrent des difficultés pour y accéder. En effet, l'administration dont ils dépendent et auprès de laquelle ils sollicitent cette rupture conventionnelle, leur indique être en attente de la publication de précisions concernant les modalités de mise en œuvre de ce dispositif afin, notamment d'évaluer le montant de l'indemnité de rupture et de donner suite à leur demande. Dès lors, certains agents ne reçoivent pas de réponse à leur sollicitation, alors même que le décret de mise en œuvre de ce dispositif indique que l'agent doit être reçu par son supérieur hiérarchique ou par l'autorité disposant du pouvoir de nomination, entre 10 jours et 1 mois après réception de sa demande, afin d'établir les modalités de rupture conventionnelle. Cette situation est particulièrement préoccupante car le déploiement de la rupture conventionnelle dans la fonction publique d'État a justifié la suppression, effective au 30 juin 2020, du système d'indemnité de départ volontaire prévue pour les agents publics qui démissionne afin de créer ou de reprendre une entreprise. Aussi, sans précision sur les modalités d'application de la rupture conventionnelle, une situation de vide juridique risque d'apparaître pour les agents souhaitant quitter la fonction publique d'État après le 30 juin 2020. Dès lors, elle lui demande que soient clarifiées les conditions de mise en œuvre de la rupture conventionnelle dans la fonction publique d'État, notamment s'agissant du montant de l'indemnité de rupture, afin de permettre aux agents publics qui le souhaitent de mener leur projet de reconversion. Texte de la réponse L'article 72 de la loi n° 2019-828 du 6 août 2019 de transformation de la fonction publique instaure, à compter du 1er janvier 2020, une procédure de rupture conventionnelle dans la fonction publique, par laquelle l'administration et un agent public peuvent convenir d'un commun accord de la fin de leur relation de travail. Ce nouveau dispositif, précisé par les décrets n° 2020-1593 et n° 2020-1596 du 31 décembre 2019, crée un nouveau cas de cessation définitive des fonctions pour les fonctionnaires, à titre expérimental, et un nouveau cas pérenne de rupture du contrat pour les agents contractuels recrutés sur un contrat à durée indéterminée. La rupture conventionnelle, décidée d'un commun accord, ne peut pas être imposée par l'une ou l'autre des deux parties. Elle ne constitue donc en aucun cas un droit pour l'agent qui la sollicite auprès de son administration ni un moyen pour l'administration d'imposer un départ à un agent public. Cette nouvelle possibilité de rupture du lien de travail ouvre à l'agent le bénéfice d'une indemnité spécifique de rupture conventionnelle ISRC, exonérée d'impôt sur le revenu et de prélèvements sociaux, ainsi que de l'allocation d'aide de retour à l'emploi dans les conditions prévues par la réglementation. Le montant de l'ISRC est précisé dans la convention de rupture, dans le respect des montants minimum et maximum fixés par le décret n° 2019-1596 précité. A l'instar du dispositif applicable au secteur privé, il appartient donc aux cocontractants de fixer ensemble le montant de cette indemnité. Cette latitude n'est en aucun cas un facteur de blocage puisqu'elle permet aux administrations d'adapter les conditions de la rupture conventionnelle à la situation individuelle de la rupture de la relation de travail. La fixation d'un éventuel barème pour l'ISRC serait au contraire de nature à limiter la latitude de négociation des parties et encouragerait tant les agents que les employeurs à considérer la conclusion d'une rupture conventionnelle comme un droit acquis. Il n'est donc pas prévu d'imposer un barème réglementaire. Il appartient aux employeurs de déterminer leur doctrine d'emploi de la procédure de rupture conventionnelle et en particulier de sa dimension indemnitaire, en lien avec l'ensemble des autres politiques de ressources humaines. Il est tout à fait compréhensible qu'un temps d'adaptation ait été nécessaire aux employeurs pour ajuster leurs processus RH à ce nouveau dispositif et il est tout à fait concevable qu'un employeur ne souhaite pas promouvoir la rupture conventionnelle au regard de ses préoccupations budgétaires ou en matière d'attractivité RH. Cependant, le cadre réglementaire ne saurait être invoqué comme un motif pour refuser l'examen des demandes effectuées dans les formes requises par les agents publics. Il appartient à l'employeur d'apporter une réponse à ces demandes, qu'elle soit positive ou négative. La rupture conventionnelle constitue une nouveauté importante dans les modes de gestion RH de l'administration, en particulier dans la latitude donnée aux employeurs s'agissant du montant de la rupture conventionnelle. C'est pourquoi la direction générale de l'administration et de la fonction publique a élaboré un plan d'accompagnement des employeurs pour en faciliter l'appropriation élaboration d'un document d'explication du dispositif, mise en place d'une adresse mail dédiée pour répondre aux questions des services RH, organisation d'ateliers. Cet accompagnement ne constitue toutefois pas un préalable pour les employeurs, le cadre réglementaire étant suffisant pour permettre de traiter les demandes de rupture conventionnelle.

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moment du 1er but 10 min aucun